平衡二叉树最少有几个结点？

一、平衡二叉树最少有几个结点？

对于一棵平衡树，如果以NhNh表示深度为h时含有的最少结点数。有如下的规律：

N0=0,N1=1,N2=2;Nh=Nh−1+Nh−2+1

这里研究的是最小结点数，最多结点数自然是满二叉树时的，不必像最少结点这样需要递推分析。

最少结点的情况还可以从平衡因子看：所有非叶结点的平衡因子均为1。可以推论的是，均为-1也是最少结点的情况。

通常会围绕着最少结点，最大深度反复考察这个知识点。比如给定深度问最少需要多少个结点。或者给定结点数问最大能达到多少深度。

因此这个知识点可以形象化为深度是想达成的效果，越大越好，结点数是花费的成本，越小越好。

二、具有n层结点的平衡二叉树至少有几个节点？

至少有12个结点。 分析过程如下： 因为根结点层次为1，则高度为h的平衡二叉树最少有F(h + 2) -1个结点； 其中F 为Fibonacci序列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...； Fibonacci数列种，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子数的节点数量； 易知F(1)=1，F(2)=2，F(3)=4 ； F(5)=F(4)+F(3)+1=2*F(3)+F(2)+2； 因为F(2)=2，F(3)=4； 故F(5)=2*F(3)+F(2)+2=2*4+2+2=12； 即具有5层结点的平衡二叉树至少有12个结点。 此题利用了平衡二叉树的性质解题。